一般向け/高校生向け楽しい化け学
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今日はアルカンの異性体を求める式について考えていました。
(ホントは期末テストの試験勉強しないといけないんだけどね!!)


高校の定期テストでアルカンの異性体の数を問われることは良くあります。

炭素数を代入したら異性体の数がすぐ計算できるような公式があったらいいなと考えたことはありませんか?


一方、大学入試ではアルカンの異性体数はあまり問われることはないように感じます。

というのも、炭素数5くらいまでなら覚えたらしまいになってしまうので、出題しても意味ないからでしょう。

覚えていなくても炭素数5くらいまでなら少し考えたら簡単に数え上げられてしまうし。

だから普通は覚えようのない不飽和炭化水素や、酸素が入ったものの異性体が問われますね。


しかし!

炭素数が増えると異性体の数は爆発的に増加するので、実はアルカンの異性体の数を求めるというのはある意味めちゃくちゃ難しい問いでもあるのです。
(逆にいえば、そうだから炭素数5くらいまでしか問われないのですが。)

例えば、炭素数20のアルカン(イコサン)の異性体の数はいくつか数えられますか?

アルカンの、炭素数nに対する異性体の数I(n)は次のようになります。

n I(n)   n I(n)   n I(n)
1 1   15 4347   29 1590507121
2 1   16 10359   30 4111846763
3 1   17 24894   31 10660307791
4 2   18 60523   32 27711253769
5 3   19 148284   33 72214088660
6 5   20 366319   34 188626236139
7 9   21 910726   35 493782952902
8 18   22 2278638   36 1295297588128
9 35   23 5731580   37 3404490780161
10 75   24 14490245   38 8964747474595
11 159   25 36797588   39 23647478933969
12 355   26 93839412   40 62481801147341
13 802   27 240215803      
14 1858   28 617105614      

 

アルカンの異性体数は急激に増加する。
アルカンの異性体数は急激に増加する。
 

ということで、人間が普通に異性体を数えられるのはn=7くらいまで、徹夜で頑張ってせいぜいn=10まででしょう。


では本題、異性体の数を算出する関数についてです。

上の異性体数、例えばn=40のときのI(n)=約60兆、はもちろん人間が数えたものではありません。

だから要するに、

異性体の数を算出する数式はあります。


が、残念ながらここにさらっと書けるような代物ではないです。

異性体の数を計算する(すなわち点と点の結び方を数える)には、超高等な数学;グラフ理論が用いられます。

他にも漸化式を立てたり色々あるようですが、難しすぎて数学の苦手な筆者にはわかりません。

特に漸化式を立てるというものに、次のようなもの

http://www.sccj.net/CSSJ/jcs/v5n2/a3/document.pdf』日本コンピュータ化学会、入谷寛(2011/07/31 引用)

がありますが、ちらっと見ただけでもう激ムズなことがわかってしまいます。

しかもこの計算はコンピューターを使ってもn=40まで計算するのに42分を要したらしいです。

なんしか、人間でもコンピューターでも、異性体の数を出すというのはとても難しく時間のかかることなのです。


で、筆者は考えました。

数えれるくらいのnとI(n)の値を使って近似曲線の方程式を求めることにより、もっと大きなnのときのI(n)の値を簡単な代入ですばやく見積もることはできないか、と。

ある種の実験的手法です。

エクセルを用い、1≦n≦10で、nに対してI(n)をグラフにプロットし、6次近似をすると次のような方程式が得られました。

I(n) ≒ 0.00166666666672199000 n6 - 0.04551282051681940000 n5 + 0.50705128215514600000 n4 - 2.82954545510779000000 n3 + 8.27310024236186000000 n2 - 11.53706306053130000000 n + 6.66666698250509000000


相関係数の2乗:R2 = 0.99988322061694500000

この近似曲線をF(n)とします。

するとnと真のI(n)、近似曲線で求めた異性体数F(n)の小数第1位を四捨五入したものは、次のようになります。

 
n I(n) F(n)
1 1 1
2 1 1
3 1 1
4 2 2
5 3 3
6 5 5
7 9 9
8 18 18
9 35 35
10 75 75
11 159 161
12 355 336
13 802 666
14 1858 1253
15 4347 2238
16 10359 3819
17 24894 6257
18 60523 9893
19 148284 15161
20 366319 22603

1≦n≦10ではうまくいったけど肝心のn≧11では全く役に立たなかったよ・・・orz


難しい・・・・

対数取って桁数だけでも求めようとしたけど、やはりずれが大きい。

n=10までの実験値(人間が数え上げられる数)では妥当な曲線を得るのは難しいととわかりました。

一方、I(n)の対数を取ると、nが大きくなるとlog{I(n)}はほぼ直線に乗ることがわかりました。

nとlog{I(n)}の関係
 nとlog{I(n)}の関係
 

数学の神秘ですねぇ。

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